1、平面上三者关系
（1）众所周知三角形有3个顶点、3个边和1个区域面，四边形有4个顶点、4个边和1个区域面；那么继续推理五边形、六边形以及其他多边形呢？首先完成下表
显然通过对于四边形、五边形和六边形的了解很容易得出来结果，结果如下所示：
（2）从上表不难发现对于上面四种平面中三者的关系，即
顶点数 + 区域数 - 边数 = 1
那么如何推断出多边形中他们的关系呢？首先想想对三角形进行切割会对三者有什么影响
从上图可以看出三角形割去一个角变成了四边形，其顶点增加了1个，边数增加了1条，区域面不变，则顶点数 + 区域数 - 边数 = 1依然成立，依次切割可推断出所有多边形，故顶点数 + 区域数 - 边数 = 1适用于所有的平面图。
通过该公式可以解决很多问题，例如一个平面图上有9个区域，每个顶点对应3条边，求该平面图的顶点数和边数？
首先设该平面图顶点数为x,边数为y，根据公式则有：
x + 9 - y = 1
又因为每个顶点对应3条边而每条边对应2个顶点，则有：
y = 3x / 2
结合公式可得
x + 9 - 3x / 2 = 1
解得 x=16，y=24
2、空间多面体中三者的关系
通过在平面上的推断过程可知，在多面体上同样存在规律；
从上图三角体可知三者关系如下所示：
顶点数 + 区域数 - 边数 = 4 + 4 - 6 = 2
顶点数 + 区域数 - 边数 = 6 + 5 - 9 = 2
依次可以推出所有的多面体中三者关系都是顶点数 + 区域数 - 边数 = 2；这个公式就是欧拉–笛卡尔公式。
通过欧拉–笛卡尔公式可以解决很多问题，例如一个足球表面有多少个正五边形和多少正六边形?
首先一个足球有32块皮子， ,一般用黑和白,黑的是正五边形,白的是正六边形；
设黑皮x块,则白皮32－x块，顶点数V, 棱数E
由欧拉–笛卡尔公式可得：
V + 32 - E = 2
因为每一条棱两块皮共用，所以可得
[ 5x + (32-x)6 ] / 2= E
每一个顶点3块皮共用可得
[ 5x +(32-x)6 ] / 3 = V
解得x=12 所以黑皮的五边形为12块,白皮六边形为20块