[科普中国]-弯矩

定义及内容

弯矩是受力构件截面上的内力矩的一种，即垂直于横截面的内力系的合力偶矩。其大小为该截面截取的构件部分上所有外力对该截面形心矩的代数和，其正负约定为是构件下凹为正，上凸为负(正负区分标准是构件上部受压为正，下部受压为负；反之构件上部受拉为负，下部受拉为正。在土木工程中，弯矩图习惯绘于杆件受拉一侧，在图上可不注明正负号)。比如说一个悬臂梁，当梁端力为2kN，梁长为3m，刚固端弯矩为-6kN·m，而梁的跨中弯矩为-3kN·m，按这个做法可以简单算，不过更深的算法要见《材料力学》了1。

图4中，M就是弯矩作用，v就是剪力作用，n就是轴力作用。

区分正负

一般而言，在不同的学科中弯矩的正负有不同的规定。规定了弯矩的正负，就可以将弯矩进行代数计算。

在列弯矩计算时，应用“左上右下为正，左下右上为负”的判别方法。凡截面左侧梁上外力对截面形心之矩为顺时针转向，或截面右侧外力对截面形心之矩为逆时针转向，都将产生正的弯矩，故均取正号；反之为负，即左顺右逆，弯矩为正2。

对于土木工程结构中的一根梁（指水平向的构件），当构件区段下侧受拉时，我们称此区段所受弯矩为正弯矩；当构件区段上侧受拉时，我们称此区段所受弯矩为负弯矩。

PKPM给出的弯矩方向：

作用力方向（对基础）：轴力 N 压为正（↓）；

弯矩 M 顺时针为正（-↓）；

剪力 V 顺时针为正（→）。

计算公式

弯矩公式：

(Mmax表示最大弯矩，F表示外力，L即为力臂)。

弯矩图

弯矩图是一种图线，用来表示梁的各横截面上弯矩沿轴线的变化情况。总结规律如下：1

（1）在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函数，弯矩图是斜直线。

（2）在梁的某一段内，若作用分布载荷作用，即q(x)=常数，则d²M(x)/dx²=q(x)=常数，可以得到M(x)是x的二次函数。弯矩图是抛物线。

（3）在梁的某一截面内，若Fs(x)=dM(x)/dx=0,则在这一截面上弯矩有一极值（极大或极小）。即弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。

叠加原理

图6-9 a、b、c分别画出了同一根粱AB受q、M0两种载荷作用、q单独作用及M0单独作用的三种受力情况。

在q、M0共同作用时

VA=ql/2+M0/l VS=ql/2+M0/l

从计算结果中可以看到，梁的支座反力和弯矩都是荷载(q、M0)的一次函数，即反力或弯矩与荷载成线性关系。这时，g、M0共同作用F所产生的反力或弯矩等于g与M0单独作用时所产生的反力或弯矩的代数和：

这种关系不仅在本例中存在，而且在其他力学计算中普遍存在， 即只要反力、弯矩（或其他量）与载荷成线性关系，则若干个载荷共同引起的反力、弯矩（或其他量）等于各个载荷单独引起的反力、弯矩（或其他量）相叠加。这种关系称为叠加原理。应用叠加原理的前提是构件处在小变形情况下，这时各荷载对构件的影响各自独立。3